Question

已知数列的前n项和为，且，令.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数．

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析，数列的通项公式为；
（2）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）由可得，即可证明数列是等差数列，并可求出数列的通项公式，从而数列的通项公式可求；
（2）用数学归纳法证明时，注意先验证成立，假设时成立，推出时亦成立即可．
（1）当时，，∴.          1分
当n≥2时，，
∴，即.           3分
∴.
即当n≥2时.          5分
∵，∴数列是首项为5，公差为3的等差数列.          6分
∴，即.            7分
∴.         8分
（2）.
①当时，，显然能被18整除；               9分
②假设 时，能被18整除，             10分
则当时，

＝
＝
＝
＝，            13分
∵k≥1， ∴能被18整除.               14分
又能被18整除，
∴能被18整除，即当n＝k＋1时结论成立.            15分
由①②可知，当时，是18的倍数．             16分