Question

（2012•九江一模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-x³]=2，则方程f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由题意，可知f（x）-x³是定值令t=f（x）-x³，得出f（x）=x³+t，再由f（t）=t³+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）-f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项

解答：解：由题意，可知f（x）-x³是定值，不妨令t=f（x）-x³，则f（x）=x³+t
又f（t）=t³+t=2，整理得（t-1）（t²+t+2）=0，解得t=1
所以有f（x）=x³+1
所以f（x）-f′（x）=x³+1-3x²=2，令F（x）=x³-3x²-1
可得F（3）=-1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x³-3x²-1零点在区间（3，4）内
所以f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）
故选D

点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-x³是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度