Question

（本题满分13分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理条件限制，长不超过米。

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1） ；（2）|AN|＝3米，|AM|＝米 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN长的取值范围是 
（2）令y＝，则y′＝
∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，
∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）
得到结论。
解：设AN的长为x米（）
∵，∴|AM|＝
∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ -        ------------------------------------ 4分
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN长的取值范围是                         ----------- 8分
（2）令y＝，则y′＝   -------------- 10分
∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，
∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）
此时|AN|＝3米，|AM|＝米                      ……………… 13分