Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过N点作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆过点F₁，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题设知c=2，

a2

c

=3，a2=6，b2=a2-c2=2，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AB⊥x轴时，设AB的方程为y=k（x+3），由

y=kx+3k x2+3y2-6=0

得x2+3k2(x2+6x+9)-6=0，然后由韦达定理结合题设条件进行求解．

解答：解：（1）c=2，

a2

c

=3，a2=6，b2=a2-c2=2
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1（4分）
（2）当直线AB⊥x轴时，
与椭圆无公共点，∴可设AB的方程为y=k（x+3）
由

y=kx+3k x2+3y2-6=0

得x2+3k2(x2+6x+9)-6=0
即（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x1+x2=

18k2

3k2+1

x1x2=

27k2-6

3k2+1

（4分）
依题设有，

F1A

•

F2B

=0
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0（2分）x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=0（k²+1）x₁x₂+（3k²+2）（x₁+x₂）+9k²+4=0

(k2+1)(27k2-6)

3k2+1

-

18k2(3k2+2)

3k2+1

+

(9k2+4)(3k2+1)

3k2+1

=0k2=

1

3

即k=±

3

3

（4分）
将k2=

1

3

代入得2x2+6x+3=0，△=36-24＞0
∴k=±

3

3

时问题的解
∴AB的方程为y=±

3

3

(x+3)（2分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意挖掘题设中的隐含条件．