Question

8．给出定义，若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则称函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成中心对称，已知函数f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$（x≠1），定义域为A．
（Ⅰ）判断y=f（x）的图象是否关于点（a，-2）成中心对称；
（Ⅱ）当a=1时，求f（sinx）的值域；
（Ⅲ）对于任意的x_i∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n），如果x_i∈A（i=2，3，4，…）构造过程将继续下去，如果x_i∉A，构造过程将停止，若对任意x_i∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称的定义和性质证明y=f（x）的图象关于点（a，-2）成中心对称；
（2）根据分式函数的性质，利用换元法即求函数的值域；
（3）根据设计过程，进行推理即可．

解答 （1）∵f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$，
∴f（a+x）+f（a-x）=$\frac{2（a+x）+1-a}{a-（a+x）}$+$\frac{2（a-x）+1-a}{a-（a-x）}$=-$\frac{2x+1+a}{x}$+$\frac{a-2x+1}{x}$=-2-$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{x}$-2=-4=2×（-2），
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-2）成中心对称．（3分）
（2）当a=1时，f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$=$\frac{2x}{1-x}$=$\frac{2（x-1）+2}{1-x}$=-2-$\frac{2}{x-1}$，
设t=sinx，则-1≤t＜1，
则则函数f（x）在-1≤t＜1上为增函数，
则当x=-1时取得最小值，此时y=-2+1=-1，
则y≥-1，即函数的值域为[-1，+∞）（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$≠a对任意x∈A恒成立．
∴方程$\frac{2x+1-a}{a-x}$=a无解，即方程（a+2）x=a²+a-1无解或有唯一解x=a．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2=0}\\{{a}^{2}+a-1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+2≠0}\\{（a+2）a={a}^{2}+a-1}\end{array}\right.$，
由此得到a=-2或a=-1（13分）

点评 本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．