Question

设角A，B，C为△ABC的三个内角．
（1）设f（A）=sinA+2sin

A

2

，当A取A₀时，f（A）取极大值f（A₀），试求A₀和f（A₀）的值；
（2）当A取A₀时，而

AB

•

AC

=-1，求BC边长的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（A），由f′（A）＞0可得A的范围，可得函数的单调性，可得极值点和极值；
（2）由（1）可得bc=2，由余弦定理可得a=

b2+c2+bc

由基本不等式可得．

解答：解：（1）∵f′（A）=cosA+cos

A

2

=2cos2

A

2

+cos

A

2

-1
=（2cos

A

2

-1）（cos

A

2

+1），
∵0＜A＜π，
∴cos

A

2

+1＞0，
由f′（A）＞0可得cos

A

2

＞

1

2

，
∴0＜

A

2

＜

π

3

，即0＜A＜

2π

3

故当0＜A＜

2π

3

时，f（A）为增函数；
当

2π

3

＜A＜π时，f（A）为减函数．
故当A₀=

2π

3

时，f（A₀）取极大值f（

2π

3

）=

3 3

2

（2）由

AB

•

AC

=-1知bccos

2π

3

=-1，解得bc=2，
∴a=

b2+c2+bc

≥

2bc+bc

=

3bc

=

6

，
当且仅当b=c=

2

时，BC边长a的最小值为

6

点评：本题考查数量积的运算，涉及三角函数的运算和极值问题，以及基本不等式的应用，属中档题．