Question

设角A，B，C为△ABC的三个内角．
（Ⅰ）若

2

sin²

A

2

+sin

B+C

2

=

2

，求角A的大小；
（Ⅱ）设f（A）=sinA+2sin

A

2

，求当A为何值时，f（A）取极大值，并求其极大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

2

sin²

A

2

+sin

B+C

2

=

2

整理得cos

A

2

（

2

cos

A

2

-1）=0进而求得cos

A

2

，进而求得A．
（Ⅱ）对函数f（A）进行求导，根据结果与0的关系判断函数的单调性，进而判断出函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，

2

sin²

A

2

+sin

π+A

2

=

2

，
即

2

sin²

A

2

+cos

A

2

=

2

，
所以

2

（1-cos2

A

2

）+cos

A

2

=

2

，
即cos

A

2

（

2

cos

A

2

-1）=0．
在△ABC中，因为0＜A＜π，则0＜

A

2

＜

π

2

，
所以cos

A

2

≠0，从而cos

A

2

=

2

2

．
从而

A

2

=

π

4

，即A=

π

2

．
（Ⅱ）因为f′（A）=cosA+cos

A

2

=2cos2

A

2

+cos

A

2

-1=（2cos

A

2

-1）（cos

A

2

+1），
因为0＜A＜π，则cos

A

2

+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos

A

2

＞

1

2

，
所以0＜

A

2

＜

π

3

，即0＜A＜

2π

3

．
所以当A∈（0，

2π

3

）时，f（A）为增函数；
当A∈（

2π

3

，π）时，f（A）为减函数．
故当A=

2π

3

时，f（A）取极大值，
且极大值为f（

2π

3

）=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，导数，函数的单调性．