题目内容
甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲地区：
乙地区：
（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；
（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．
甲地区：
| 分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 频数 | 2 | 3 | 10 | 15 |
| 分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 频数 | 15 | x | 3 | 1 |
| 分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 频数 | 1 | 2 | 9 | 8 |
| 分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 频数 | 10 | 10 | y | 3 |
（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；
（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布表
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知条件先求出甲地区抽取人数和乙地区抽取人数，由此结合频数分布表能求出x=6，y=7．
（Ⅱ）由频数分布表求出甲地区优秀率和乙地区优秀率，从而推导出ξ～B（3，
），由此能求出Eξ．
（Ⅲ）由已知条件得η的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（η=0），P（η=1），P（η=2），P（η=3），由此能求出η的分布列和Eη．
（Ⅱ）由频数分布表求出甲地区优秀率和乙地区优秀率，从而推导出ξ～B（3，
| 2 |
| 5 |
（Ⅲ）由已知条件得η的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（η=0），P（η=1），P（η=2），P（η=3），由此能求出η的分布列和Eη．
解答：
解：（Ⅰ）∵抽样比f=
=
，
∴甲地区抽取人数=
×33000=55人，
乙地区抽取人数=
×30000=50人，
∴由频数分布表知：
解得x=6，y=7．
（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率=
=
，
乙地区优秀率=
=
，
现从乙地区所有学生中随机抽取3人，
抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ～B（3，
），
∴Eξ=3×
=
．
（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，
抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，
P（η=0）=
=
，
P（η=1）=
=
，
P（η=2）=
=
，
P（η=3）=
=
，
∴η的分布列为：
Eη=0×
+1×
+2×
+3×
=1．
| 105 |
| 33000+30000 |
| 1 |
| 600 |
∴甲地区抽取人数=
| 1 |
| 600 |
乙地区抽取人数=
| 1 |
| 600 |
∴由频数分布表知：
|
解得x=6，y=7．
（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率=
| 6+3+1 |
| 55 |
| 2 |
| 11 |
乙地区优秀率=
| 10+7+3 |
| 50 |
| 2 |
| 5 |
现从乙地区所有学生中随机抽取3人，
抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ～B（3，
| 2 |
| 5 |
∴Eξ=3×
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，
抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，
P（η=0）=
| ||
|
| 57 |
| 203 |
P（η=1）=
| ||||
|
| 95 |
| 203 |
P（η=2）=
| ||||
|
| 45 |
| 203 |
P（η=3）=
| ||
|
| 6 |
| 203 |
∴η的分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 57 |
| 203 |
| 95 |
| 203 |
| 45 |
| 203 |
| 6 |
| 203 |
点评：本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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