Question

9．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净．如表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的统计表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（1）令ω=x²，利用给出的参考数据求出y关于ω的回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$ω+$\widehat{a}$（$\widehat{a}$，$\widehat{b}$精确到0.1）．
参考数据：$\sum_{i=1}^{5}$ω_i=55，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）（y_i-$\overline{y}$）=-751，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）²=374．其中ω_i=x${\;}_{i}^{2}$，$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$$\sum_{i=1}^{5}$ω_i．
（2）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要多少千克的清水洗1千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据$\sqrt{5}$≈2.24）．
（附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）令ω=x²，计算$\overline{ω}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（2）利用回归方程求$\widehat{y}$＜20时x的取值范围即可．

解答 解：（1）令ω=x²，计算$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$×$\sum_{i=1}^{5}$ω_i=$\frac{1}{5}$×55=11，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（58+54+39+29+10）=38；
$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）（y_i-$\overline{y}$）=-751，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）²=374，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{（ω}_{i}-\overline{ω}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{5}{（ω}_{i}-\overline{ω}）}^{2}}$=$\frac{-751}{374}$=-2.0
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=38-（-2.0）×11=60，
∴回归方程为$\widehat{y}$=-2.0ω+60；
（2）当$\widehat{y}$＜20时，-2.0x²+60.0＜20，
解得x＞2$\sqrt{5}$=2×2.24≈4.5，
∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜．

点评 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，也考查了求线性回归方程的问题，是综合题．