Question

12．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$取到最小值为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 由于a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．利用构造思想，用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．
∴（a+2）+2（b+1）=5，利用基本不等式性质可得：$5≥2\sqrt{2（a-2）（b+1）}$
当且仅当a=2b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$=$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{1+b}$≥$2\sqrt{\frac{1}{（a+2）（b+1）}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
∴$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$取到最小值=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
故答案为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质．学会构造基本不等式的特质．考查了计算能力，属于中档题．