题目内容
11．自2014年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；
（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．
分析 （Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小张发放10元红包3个，小王恰得到2个的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（Ⅰ）小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．
∵小张发放10元红包3个，
∴小王恰得到2个的概率p=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）4=$\frac{16}{81}$，
P（X=5）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{81}$，
P（X=10）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=15）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}•\frac{1}{3}$×$（\frac{2}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=20）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+$$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{81}$，
P（X=25）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$×2=$\frac{10}{81}$，
P（X=30）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{81}$，
P（X=35）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×{C}_{2}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{2}{81}$，
P（X=40）=（$\frac{1}{3}$）4=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| P | $\frac{16}{81}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{10}{81}$ | $\frac{4}{81}$ | $\frac{2}{81}$ | $\frac{1}{81}$ |
点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
函数f（x）=6cos2$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．