Question

已知函数的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点（4，-1）在函数f（x）的图象上，
∴2-=-1，解之得a=2…2
（2）证明：由（1）得f（x）=2-，定义域为x∈[-，+∞）…3
∵y=在∈[-，+∞）上是增函数，
∴f（x）=2-在∈[-，+∞）上减函数，…5
又f（0）=1＞0，f（4）=-1＜0，
∴f（0）•f（4）＜0，
∴f（x）在其定义域上有且只有一个零点；…7
（3）由题意得：2-+mx＞1即mx＞-1，
∵x＞0，
∴m＞…9
又==，
∴0＜＜1…11
要使原不等式对一切的正实数x均成立，只需m≥1，
∴m∈[1，+∞）…12
分析：（1）将（4，-1）代入已知条件，即可求得a的值；
（2）可判断f（x）=2-在∈[-，+∞）上减函数，f（0）•f（4）＜0，从而可判断f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）可将f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，转化为m＞=恒成立即可．
点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查转化思想，难点在于（3）m＞=的转化与应用，属于难题．