Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos²$\frac{A}{2}$-cos2（B+C）=$\frac{7}{2}$，若a=2，则△ABC的面积的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A的三角方程，从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求△ABC的面积的最大值．

解答 （本题满分为10分）
解：∵A+B+C=π，
∴4cos²$\frac{A}{2}$-cos²（B+C）=2（1+cosA）-cos2A=-2cos²A+2cosA+3=$\frac{7}{2}$，
∴2cos²A-2cosA+$\frac{1}{2}$=0．    …（4分）
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$°．…（6分）
∵a=2，由余弦定理可得：4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）．
∴bc≤4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．…（10分）
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题的考点是解三角形，主要考查三角形的内角和，考查二倍角公式的运用，考查三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，属于中档题．