Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=$\frac{16}{3}$于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k₁、k₂，试问：k₁k₂是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切，可得
d=$\frac{|0-0+12|}{\sqrt{7+5}}$=b，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x²+4y²=48，
得（4+3m²）y²+18my-21=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{18m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{21}{4+3{m}^{2}}$，
由A，P，M三点共线可知，$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}+4}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$，即y_M=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$；
同理可得y_N=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$．
所以k₁k₂=$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}-3}$•$\frac{{y}_{N}}{\frac{16}{3}-3}$=$\frac{9{y}_{M}{y}_{N}}{49}$=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+4）（{x}_{2}+4）}$．
因为（x₁+4）（x₂+4）=（my₁+7）（my₂+7=m²y₁y₂+7m（y₁+y₂）+49，
所以k₁k₂=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+7m（{y}_{1}+{y}_{2}）+49}$
=$\frac{16×（-21）}{-21{m}^{2}-18×7{m}^{2}+49（4+3{m}^{2}）}$=-$\frac{12}{7}$．
即k₁k₂为定值-$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．