Question

已知函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）
（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，求f（x）的最值；
（2）若f（

α

2π

）=

1

4

，求cos（

2π

3

-α）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接利用三角函数的单调性和定义域求解．
（2）首先利用三角函数角的恒等变换，求出sin(

α

2

+

π

6

)=

1

8

进一步求出cos(

π

3

-

α

2

)=cos[

π

2

-(

π

6

+

α

2

)]=sin(

π

6

+

α

2

)=

1

8

最后求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）
当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，利用函数的单调性，
f（x）_max=2，f(x)min=-

3

（2）由f(

α

2π

)=

1

4

，所以有：2sin(π•

α

2π

+

π

6

)=2sin(

α

2

+

π

6

)=

1

4

所以sin(

α

2

+

π

6

)=

1

8

而cos(

π

3

-

α

2

)=cos[

π

2

-(

π

6

+

α

2

)]=sin(

π

6

+

α

2

)=

1

8

所以cos(

2π

3

-α)=cos[2(

π

3

-

α

2

)]=2cos2(

π

3

-

α

2

)-1
即cos(

2π

3

-α)=2sin2(

α

2

+

π

6

)-1=-

31

32

点评：本题考查的知识要点：利用三角函数的定义域求值域，角的恒等变换及相关的运算问题．