Question

已知函数f（x）＝x－xlnx ，，其中表示函数f（x）在
x＝a处的导数，a为正常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数，且，证明：
 
（3）对任意的

Answer 1

见解析.

第一问中利用导数的，，然后判定的单调性。
第二问中，对任意的正实数，且，取，则，由（1）得，所以，
同理取，则，由（1）得，
所以，，综合克的结论。
第三问中，对k=1,2,3…n-2，令，则
，
显然1<x<x+k，，所以，
利用放缩法证明。
解：（1），，
．      …………………2分
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
所以，的单调递增区间为，单调递减区间为． ………4分
（2）（法1）对任意的正实数，且，
取，则，由（1）得，
所以，……①；                    ………………………6分
取，则，由（1）得，
所以，……②．
综合①②，得结论． ………………………8分
（3）对k=1,2,3…n-2，令，则
，
显然1<x<x+k，，所以，
所以，在上单调递减．
由，得，即．
．       ……………10分
所以
所以，．…………14分