Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M、N分别为PC、PB的中点。
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM；
（3）求四棱锥P-ADMN的体积。

Answer 1

证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，所以MN//BC，且，
又因为AD//BC，所以MN//AD，
又AD平面PAD，MN平面PAD，
所以MN//平面PAD。
（2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB，
因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以AD⊥PA，
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB，
又PB平面PAB，所以AD⊥PB，
因为AN⊥PB，AD⊥PB，且AN∩AD=A，
所以PB⊥平面ADMN，
又DM平面ADMN，所以PB⊥DM。
（3）解：由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，
且∠DAN=90°，AD=2a，，
所以，
由（2）PB⊥平面ADMN，得PN为四棱锥P-ADMN的高，且，
所以，。