Question

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项和为s_n，且a_n是s_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为B_n，试比较

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

与2的大小．
（Ⅲ）设T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，若对一切正整数n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a_n}的通项公式，根据{b_n}的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；
（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；
（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T_n是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得2a_n=s_n⁺2，
当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，有2a_n-1=s_n-1⁺2，两式相减，整理得a_n=2a_n-1即数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a_n=2ⁿ．
点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+..+

1

(n-1)．n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

＜2∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

＜2．
（Ⅲ）T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

＜3
又T4=

1

2

+

3

22

+

4

23

+

7

24

=

37

16

＞2
∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．

点评：本题考查等差数列，等比数列的判定问题，考查根据数列的递推关系得出数列通项公式的方法，考查数列的通项与前n项和之间的关系，考查数列求和的思想和方法，考查放缩法估计不等式的有关问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．