Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线和抛物线y=x²+

3

4

相切，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

b

a

x，由

y=± b a x y=x2+ 3 4

，得x2±

b

a

x+

3

4

=0，由渐近线和抛物线y=x²+

3

4

相切，知△=(±

b

a

)  2-3=0，由此能求出双曲线的离心率．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

b

a

x，
由

y=± b a x y=x2+ 3 4

，得x2±

b

a

x+

3

4

=0，
∵渐近线和抛物线y=x²+

3

4

相切，
∴△=(±

b

a

)  2-3=0，
∴b²=3a²，
∴c²=a²+b²=4a²，
∴c=2a，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=2．
故选C．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．