Question

设函数f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为a_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设bn=

1

an2

，求数列b_n]的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设得f'（x）=x²+2nx+（n²-1），在区间[n，+∞）上的最小值为

4n2-1

，由此可求出a_n；
（2）因为b_n=

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)．

解答：解：（1）由f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n
得f'（x）=x²+2nx+（n²-1）
在区间[n，+∞）上的最小值为

4n2-1

，
∴a_n=

4n2-1

．
（2）因为b_n=

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要结合实际情况和数列的性质耐心寻找突破口，准确地进行求解．