题目内容
设函数f(x)=
(a-1)x3-
ax2+x(a∈R)[
(Ⅰ)若y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于
,求a的值;
(II)当a<2时,讨论f(x)的单调性.
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(Ⅰ)若y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于
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(II)当a<2时,讨论f(x)的单调性.
分析:(I)由题目条件知,点P(1,f(1))为切点,且函数在该点处的导数值为切线的斜率,求出切线方程,利用切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积,从而建立关于a的方程,可求得a的值;
(II)由函数及其导数的解析式,解不等式f'(x)>0与f'(x)<0,可求出函数的单调区间.
(II)由函数及其导数的解析式,解不等式f'(x)>0与f'(x)<0,可求出函数的单调区间.
解答:解:(I)∵f'(x)=(a-1)x2-ax+1,∴f'(1)=(a-1)+1-a=0
又∵f(1)=
(a-1)-
a+1=-
,
∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为y=-
,
由
,得
,
则切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于
×
|a-4|×
|a-4|=
,
解得,a=7或a=1.
(II)f'(x)=(a-1)x2-ax+1=(x-1)[(a-1)x-1]
①当a=1时,f′(x)=1-x,则f(x)在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数;
②当1<a<2时,f′(x)≤0得1≤a≤
,则f(x)在(-∞,1]、[
,+∞)上是增函数,在[1,
]上是减函数;
③当a<1时,f′(x)≥0得
≤a≤1,则f(x)在(-∞,
],[1,+∞)上是减函数,在[
,1]上是增函数.
又∵f(1)=
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a-4 |
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∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为y=-
a-4 |
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由
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则切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于
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解得,a=7或a=1.
(II)f'(x)=(a-1)x2-ax+1=(x-1)[(a-1)x-1]
①当a=1时,f′(x)=1-x,则f(x)在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数;
②当1<a<2时,f′(x)≤0得1≤a≤
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a-1 |
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a-1 |
③当a<1时,f′(x)≥0得
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a-1 |
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,同时考查了导数的几何意义,以及学生灵活转化题目条件的能力,属于中档题.
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