Question

（2012•河南模拟）设函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当0＜a＜

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=

1

3

时，设函数g(x)=x2-2bx-

5

12

，若对于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，e＜

3

+1）

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求出导函数，利用过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，可求点P的坐标；
（Ⅱ）求导函数，f'（x）＜0，可得函数的单调减区间；f'（x）＞0，可得出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，由此可求b的取值范围．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（2分）
（Ⅰ）设点P（x₀，y₀）（x₀＞0），当a=1时，f（x）=lnx-x-1，则y₀=lnx₀-x₀-1，f′(x)=

1

x

-1，
∴f′(x0)=

1

x0

-1=

lnx0-x0-1

x0

（3分）
解得x0=e2，故点P 的坐标为（e²，1-e²）（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

-ax2+ax+a-1

x2

=-

(x-1)(ax-1+a)

x2

=-

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

∵0＜a＜

1

2

，∴

1-a

a

-1＞0（5分）
∴当0＜x＜1，或x＞

1-a

a

时，f'（x）＜0；当1＜x＜

1-a

a

时，f'（x）＞0
故当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）的单调递增区间为(1，

1-a

a

)；
单调递减区间为（0，1），(

1-a

a

，+∞)（7分）
（Ⅲ）当a=

1

3

时，f(x)=lnx-

x

3

+

2

3x

-1
由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数，在（2，e]上为减函数，且f(1)=-

2

3

，f(e)=-

e

3

+

2

3e

∵f(e)-f(1)=

2-e2+2e

3e

=

3-(e-1)2

3e

，又e＜

3

+1，∴（e-1）²＜3，
∴f（e）＞f（1），故函数f（x）在（0，e]上的最小值为-

2

3

（9分）
若?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）                                         （10分）
又g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，[g(x)]min=g(0)=-

5

12

＞-

2

3

与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，[g(x)]min=g(b)=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，[g(x)]min=g(1)=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此时b＞1
综上，b的取值范围是[

1

2

，+∞)（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是将?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值