Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且

PQ

=λ

OA

，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA得，

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，从而就可以得到轨迹C的方程；
（Ⅱ）方法一、设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
可得x₂+x₁=-1，由O、M、P三点共线可知，

OM

=(x0，y0)与

OP

=(x1，

x

2 1

)共线，从而可得x0

x

2 1

-x1y0=0，
这样，我们可以求出M的横坐标，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；
方法二、设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值-

1

2

，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA得，

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，
整理得轨迹C的方程为y=x²（x≠0且x≠-1）．（4分）
（Ⅱ）方法一、
设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，
由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂+x₁=-1，（6分）
由O、M、P三点共线可知，

OM

=(x0，y0)与

OP

=(x1，

x

2 1

)共线，
∴x0

x

2 1

-x1y0=0，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y₀=x₀x₁，（8分）
同理，由

AM

=(x0+1，y0-1)与

AQ

=(x2+1，

x

2 2

-1)共线，
∴(x0+1)(

x

2 2

-1)-(x2+1)(y0-1)=0，
即（x₂+1）[（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₁≠-1，故（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）=0，（10分）
将y₀=x₀x₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x₀+1）（-2-x₁）-（x₀x₁-1）=0，
整理得-2x₀（x₁+1）=x₁+1，
由x≠-1得x0=-

1

2

，（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由

PO

=2

OM

，得x₁=1，∴P的坐标为（1，1）． （14分）
方法二、设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，
由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x₁x①；（8分）
直线QA的斜率为：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，
∴直线QA方程为：y-1=（-x₁-2）（x+1），即y=-（x₁+2）x-x₁-1②；（10分）
联立①②，得x=-

1

2

，∴点M的横坐标为定值-

1

2

．（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由

PO

=2

OM

，得x₁=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）

点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．