Question

【题目】如图，在中，，，，分别为，的中点是由绕直线旋转得到，连结，，.

（1）证明：平面；

（2）若，棱上是否存在一点，使得？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在，为的中点

【解析】

（1）要证平面，则证和；证由平面几何知识可得，证，只需证，即证平面，利用线面垂直判定可得.

（2），等体积转化，由且，则可解.

（1）依题意得，

所以

因为分别为，的中点，

所以

因为

所以

又因为由沿旋转得到，

所以，平面，平面

则平面

所以，即

所以平面

解法一：（2）若，

则

因为且

所以，

又

所以为的中点

解法二：（2）因为，，，

所以，，

又，所以

由（1）知平面

若，

则，

所以

由（1）知，在中，

，即

解得

所以为正三角形，

即，所以M为的中点