Question

已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）令c_n=

2n

an•an+1

，T_n是数列{c_n}的前n项和，证明T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明

an+1

an-1+1

是一个非零的常数即可；
（2）根据（1）中证明的结论，求出数列{a_n}的通项公式，从而求得数列{c_n}的通项公式，再求出其前n项和．

解答：（Ⅰ）证明：由题意得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
又a₁+1=2≠0．
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（1）知a_n=2ⁿ-1，
故cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

＜1．
故T_n＜1．

点评：由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，特别注意新数列的首项，裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．