Question

已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-，则动点P的轨迹方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可
解答：解：∵-=1，∴c=．
设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2 ，
∴a＞，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂
===-1
∵mn≤（ ）²=a²，
∴当且仅当m=n时，mn取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值 -1，
由题意 -1=-，
解得a²=18，
∴b²=a²-c²=18-5=13
∴P点的轨迹方程为 =1．
故答案为：=1．
点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆的定义与椭圆的标准方程，考查余弦定理与基本不等式求最值．本题是圆锥曲线与基本不等式知识的一个综合题，知识覆盖面较广．