Question

（2012•湖北模拟）已知动点P与双曲线2x²-2y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为4．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若M为曲线C上的动点，以M为圆心，MF₂为半径做圆M．若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定双曲线2x²-2y²=1的两个焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），利用|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，可知P点的轨迹是椭圆，从而可求C的方程；
（2）设M（x₀，y₀），d=|x₀|，r=

(x0-1)2+ y 2 0

，根据圆M与y轴有两个交点，可得|x0|＜

(x0-1)2+ y 2 0

，利用

x02

4

+

y02

3

=1，可的3

x

2 0

+8x0-16＜0，从而可求点M横坐标的取值范围．

解答：解：（1）双曲线2x²-2y²=1的两个焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，
∴P点的轨迹是椭圆，其中a=2，c=1，则b=

3

，
∴C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）设M（x₀，y₀），d=|x₀|，r=

(x0-1)2+ y 2 0

∵圆M与y轴有两个交点，∴d＜r，
即|x0|＜

(x0-1)2+ y 2 0

，
∴

x

2 0

＜(x0-1)2+y02，
又

x02

4

+

y02

3

=1，即

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，
∴

x

2 0

＜(x0-1)2+3(1-

x 2 0

4

)，
∴3

x

2 0

+8x0-16＜0，
∴（3x₀-4）（x₀+4）＜0
∴-4＜x0＜

4

3

，（12分）
又-2≤x₀≤2，∴-2≤x0＜

4

3

（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，解题的关键是利用椭圆的定义，建立不等关系，属于中档题．