Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-

1

3

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式及根的判别式即可求得k的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，∴c=

2

．设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

2

，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

2a2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值

2a2-4

a2

-1，由题意

2a2-4

a2

-1=-

1

3

，解得a²=3，∴b²=a²-c²=3-2=1
①②
∴P点的轨迹方程为

x2

3

+y²=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则由，

x2 3 +y2=1 y=kx+m

将②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0  （*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB中点Q（x₀，y₀）的坐标满足：x₀=

x1+x2

2

=

-3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

即Q（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴k_lk_AQ=k•

m 1+3k2

- 3km 1+3k2

=-1，解得m=

1+3k2

2

 …③又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0  ④，将③代入④得
12[1+3k²-（

1+3k2

2

）²]＞0，解得-1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）．

点评：本体考查了定义法求轨迹方程，以及直线与圆位置关系的应用．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．