Question

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S3=

7

4

，S6=

63

4

．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，分q=1与q≠1讨论，列方程组计算即可求得q，从而可求{a_n}的通项公式a_n；
（2）由a_n=2^n-3，b_n=log₂a_n，可求得b_n=n-3，从而可求得b₁，利用等差数列的前n项和公式即可求得T_n．

解答：解：（1）设{a_n}的首项为a₁，公比为q
当q=1时，S₃=3a₁，S₆=6a₁，则S₆=2S₃，不合题意； …（2分）
当q≠1时，

a1(1-q3) 1-q = 7 4 a1(1-q6) 1-q = 63 4

，两式相除得1+q³=9，
∴q=2，
∴a1=

1

4

…（6分）
∴a_n=a₁q^n-1=

1

4

×2^n-1=2^n-3…（8分）
（2）b_n=log₂a_n=log₂2^n-3=n-3，…11分
∴b₁=-2，
∴T_n=

n(b1+bn)

2

=

n(-2+n-3)

2

=

n(n-5)

2

…14分

点评：本题考查数列的求和，突出考查等比数列与等差数列的通项公式及求和公式，属于中档题．