Question

(本题满分16分) 矩形ABCD中，AB =2，AD = ，H是AB中点，以H为直角顶点作矩形的内接直角三角形HEF，其中E，F分别落在线段BC和线段AD上，如图．记∠BHE为θ，记Rt△EHF的周长为 l．⑴试将 l 表示为 θ 的函数；

⑵求 l 的最小值及此时的 θ．

Answer 1

(Ⅰ)  l =   (θ ∈[，])； (Ⅱ) 2( +1)

解析:

⑴∵△EHF是直角三角形，∠BHE = θ，∴∠AFH = θ，∵AB =2，H是AB中点，

∴ AH = FHsin θ = 1，FH = ，同理EH = ，   3分

∴ l = FH +EH +EF = + + = ，  6分

 当F与D重合时，θ 取到最小值 ，当E与C重合时，θ 取到最大值 ，

∴ θ ∈[，]，∴ l =   (θ ∈[，])；       8分

⑵令sin θ + cos θ = t，则sin θcos θ = ，∴ l = = ，  11分

∵θ ∈[，]，∴θ + ∈[，]，t = sin(θ +)∈[，]， 14分

 ∴ 当t = 时，即 θ = 时，l取到最小值 = 2( +1)