Question

（本小题满分13分）已知函数，．

（Ⅰ）若，对于任意的，求证：；

（Ⅱ）若函数在其定义域内不是单调函数，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 当时，，对函数进行求导，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值，又由于，，即可得到结论；（Ⅱ）由，设．令，即，设函数．求出的解为．然后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值，即可求出结果．

试题解析：【解析】
(Ⅰ) 当时，，．

令，解得．

当时，，所以函数在是减函数；

当时，，所以函数在为增函数．

所以函数在处取得最小值，．

因为，，所以对任意，都有．

即对任意，． 6分

（Ⅱ）函数的定义域为．

又,设．

令，即，设函数．

令，则．

当时，，所以在上是减函数；

当时，，所以在上是增函数；

所以．则时，．

于是，当时，直线与函数的图象有公共点，

即函数至少有一个零点，也就是方程至少有一个实数根．

当时，有且只有一个零点，

所以恒成立，函数为单调增函数，不合题意，舍去．

即当时，函数不是单调增函数．

又因为不恒成立，

所以为所求． 13分．

考点： 1．利用导数研究函数的单调性．2．导数在证明不等式中的应用．