Question

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米²，水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

Answer 1

（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元(2) 当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元

解析:

（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米.                          1分

则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162

=1 296x++12 960

=1 296+12 960                                                 4分

≥1 296×2+12 960=38 880（元），

当且仅当x=(x＞0),

即x=10时取等号.                                          6分

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.             8分

（2）由限制条件知,∴10≤x≤16.                            10分

设g(x)=x+.

g（x）在上是增函数，

∴当x=10时(此时=16),

g(x)有最小值，                                                   12分

即f(x)有最小值.1 296×+12 960=38 882(元).

∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元.                   14分