题目内容
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
分析：（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
解答：解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为
米．
则总造价f（x）=400×（2x+
）+248×2x+80×162=1296x+
+12960
=1296（x+
）+12960≥1296×2×
+12960=38880（元），
当且仅当x=
（x＞0），即x=10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知
，∴10
≤x≤16．
设g（x）=x+
（10
≤x≤16），
由函数性质易知g（x）在[10
，16]上是增函数，
∴当x=10
时（此时
=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10
+
）+12960=38882（元）．
∴当长为16米，宽为10
米时，总造价最低，为38882元．
| 162 |
| x |
则总造价f（x）=400×（2x+
| 2×162 |
| x |
| 1296×100 |
| x |
=1296（x+
| 100 |
| x |
x•
|
当且仅当x=
| 100 |
| x |
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知
|
| 1 |
| 8 |
设g（x）=x+
| 100 |
| x |
| 1 |
| 8 |
由函数性质易知g（x）在[10
| 1 |
| 8 |
∴当x=10
| 1 |
| 8 |
| 162 |
| x |
1296×（10
| 1 |
| 8 |
| 800 |
| 81 |
∴当长为16米，宽为10
| 1 |
| 8 |
点评：本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力．
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