Question

6．某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；
（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．

Answer 1

分析 （I）利用频率分布直方图，能求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命．
（Ⅱ）由题意样本在[600，700）的个数为3个，在[700，800）的个数为2个，先利用列举法求出所抽取样本的所有情况和至少有一个灯具寿命在[700，800）之间的情况种数，由此能求出至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．

解答 解：（I）北方工厂灯具平均寿命：
$\overline{{x}_{北方}}$=350×0.12+450×0.28+550×0.4+650×0.12+750×0.08=526小时，…（3分）
南方工厂灯具平均寿命：
$\overline{{x}_{南方}}$=350×0.12+450×0.28+550×0.36+650×0.24=522小时．…（6分）
（Ⅱ）由题意样本在[600，700）的个数为3个，在[700，800）的个数为2个，…（8分）
记灯具寿命在[600，700）之间的样本为1，2，3；
灯具寿命在[700，800）之间的样本为a，b．
则：所抽取样本有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），
（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），共10种情况，…（10分）
其中，至少有一个灯具寿命在[700，800）之间的有7种情况，
所以至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率为p=$\frac{7}{10}$．…（12分）

点评 本题考查平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．