Question

22.如图，直线l₁:y=kx+1－k（k≠0,k≠±）与l₂:y=x+相交于点P,直线l₁与x轴交于点P₁,过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂,过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂……这样一直作下去，可得到一系列点P₁,Q₁,P₂,Q₂,….点P_n（n=1,2,…）的横坐标构成数列｛x_n｝.

（Ⅰ）证明:x_n+1－1=（x_n－1）,n∈N*;

（Ⅱ）求数列｛x_n｝的通项公式；

（Ⅲ）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小.

Answer 1

22.

（Ⅰ）证明:设点P_n的坐标是（x_n,y_n）,由已知条件得点Q_n、P_n+1的坐标分别是：

 （x_n，x_n+）,（x_n+1, x_n+）.

由P_n+1在直线l₁上，得x_n+=kx_n+1+1－k，

所以（x_n－1）=k（x_n+1－1）.

即x_n+1－1= （x_n－1）,n∈N*.

 

（Ⅱ）解:由题设知x₁=1－,x₁－1=－≠0,又由（Ⅰ）知x_n+1－1=（x_n－1）,

所以数列｛x_n－1｝是首项为x₁－1,公比为的等比数列.

从而x_n－1=－×（）^n－1,即x_n=1－2×（）ⁿ,n∈N*.

 

（Ⅲ）解:由得点P的坐标为（1,1）.

所以2|PP_n|²=2（x_n－1）²+2（kx_n+1－k－1）²=8×（）²ⁿ+2（）^2n－2,

4k²|PP₁|²+5=4k²［（1－－1）²+（0－1）²］+5=4k²+9.

（ⅰ）当|k|＞,即k＜－或k＞时，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10，

而此时0＜||＜1,所以2|PP_n|²＜8×1+2=10.故2|PP_n|²＜4k²|PP₁|²+5.

（ⅱ）当0＜|k|＜,即k∈（－,0）∪（0,）时，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10，

而此时||＞1,所以2|PP_n|²＞8×1+2=10.故2|PP_n|²＞4k²|PP₁|²+5.