Question

如图，直线l1：y=kx+1-k(k≠0，k≠±

1

2

)与l2：y=

1

2

x+

1

2

相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，n∈N*；
（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意及各点的产生情况直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}，读懂它即可得证；
（II）因为已知的直线l₁方程且知直线l₁与x轴交于点P₁，可以求出点P₁，在有（I）的证明结论可以得到数列{x_n}的递推关系利用构造法求出其通项；
（III）先由题意得到点P的坐标为（1，1），在有两点间的距离的公式得2|PP_n|²的式子，有式子与4k²|PP₁|²+5比较大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：设点P_n的坐标是（x_n，y_n），由已知条件得
点Q_n、P_n+1的坐标分别是：(xn，

1

2

xn+

1

2

)，(xn+1，

1

2

xn+

1

2

)．
由P_n+1在直线l₁上，得

1

2

xn+

1

2

=kxn+1+1-k．
所以

1

2

(xn-1)=k(xn+1-1)，即xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，n∈N*．
（Ⅱ）由题设知x1=1-

1

k

，x1-1=-

1

k

≠0，又由（Ⅰ）知xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，
所以数列{x_n-1}是首项为x₁-1，公比为

1

2k

的等比数列．
从而xn-1=-

1

k

×(

1

2k

)n-1，即xn=1-2×(

1

2k

)n，n∈N*．
（Ⅲ）解：由

y=kx+1-k y= 1 2 x+ 1 2

得到点P的坐标为（1，1），
所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×(

1

2k

)2n+2(

1

2k

)2n-2，4k2|PP1|2+5=4k2[(1-

1

k

-1)2+(0-1)2]+5=4k2+9．
（i）当|k|＞

1

2

，即k＜-

1

2

或k＞

1

2

时，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10．
而此时0＜|

1

2k

|＜1，所以2|PPn|2＜8×1+2=10．故2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5．
（ii）当0＜|k|＜

1

2

，即k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)时，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10．
而此时|

1

2k

|＞1，所以2|PPn|2＞8×1+2=10．故2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5．

点评：此题重点考查了对于题意的准确理解，还考查了两点间的距离公式及构造法求数列的通项公式，此外还考查了比较含字母的式子的大小分类讨论的思想．