Question

【题目】如图所示，椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，且在抛物线的准线上，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过焦点，作两条平行直线分别交椭圆于，，，四个点.求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）抛物线的准线可得到，当点在短轴顶点时面积最大，根据面积即可求出，即可求出，即可写出椭圆方程。

（2）根据椭圆的对称性知道四边形为平行四边形，即，又，，设出直线与椭圆联立，即可得到，，代入，即可求出的最大值.

（Ⅰ）设椭圆方程为，

∵焦点在抛物线的准线上，

∴，

∵当点在短轴顶点时面积最大，此时，

∴，，

∴椭圆方程为.

（Ⅱ）易知四边形为平行四边形，则，

而

由题意知直线斜率不为0,设直线为：

联立消 得 ，

由韦达定理有，

又因为，∴

，

设，则，

∴在上是增函数，

所以，当时，取最大值6，此时，即.