Question

【题目】已知为实数，函数.

（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；

（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ,(2) .

【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（3）=0，求出a，验证推出结果．

（2）由f （x0）≤g（x0） 得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．

解析：（1）函数定义域为 ，

.

∵是函数的一个极值点，∴，解得.

经检验时， 是函数的一个极小值点，符合题意，

∴.

（2）由，得，

记，

∴，

∴当 时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递増.

∴，

∴，记，

∴ .

∵，∴，

∴，

∴时， ， 单调递减；

时， ， 单调递增，

∴，

∴.

故实数的取值范围为.