Question

【题目】水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度 (克/升）随着时间 (天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.

（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？

（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】

（Ⅰ）营养液有效则需满足，由分段函数，对讨论，解不等式即可得到结论；
（Ⅱ）设第二次投放营养液的持续时间为天，则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；设设为第一次投放营养液的浓度， 为第二次投放营养液的浓度， 为水中的营养液的浓度；；可得在上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到的最小值．

（1）营养液有效则需满足，

则或，

即为或，

解得，

所以营养液有效时间最多可达3天；

（2）设第二次投放营养液的持续时间为天，

则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；

设为第一次投放营养液的浓度， 为第二次投放营养液的浓度， 为水中的营养液的浓度；

∴，

，

由题意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，则，

又，

当且仅当，即时等号成立；

因为

所以的最小值为.