Question

【题目】已知.

（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；

（2）当时，，若的最小值是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值为.

【解析】

（1）求出导函数，则有实数解，由此可得的范围；

（2）考虑到的表达式，题意说明在上恒成立，且“＝”可取，这样问题又可转化为即恒成立，且可取.，即的最小值是0．，为求的零点，由得，再由导数求得的最小值是．由于题中要求的最小值，因此研究时的正负，从而得的最小值，可证得此最小值，且为0时只有一解，这样得出结论．

（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以

在上有解,即在上有解，所以，得,

故所求实数的取值范围是.

（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.

令，即

，由得，令

.

当时，，

在上，；

在上，.所以.

令在上递减，所以，故方程有唯一解即,

综上，当满足的最小值为，故的最小值为.