Question

13．点P是△ABC内一点，且$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，则△ABP与△ABC的面积之比是（　　）

• A． 1：5
• B． 1：2
• C． 2：5
• D． 1：3

Answer 1

分析 可延长PB到B′，延长PC到C′，并分别使PB′=2PB，PC′=3PC，从而根据条件便得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}$=$\overrightarrow{0}$，这便说明P为△AB′C′的重心．这便得到三角形PAB′，三角形PB′C′，及三角形PC′A的面积都相等，设为S，从而会得到S_△ABC=S，这样便可求出△ABP与△ABC的面积之比．

解答 解：如图，延长PB至PB'，使PB'=2PB，延长PC至PC'，使PC'=3PC，并连接AB′，B′C′，C′A，则：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}$=$\overrightarrow{0}$
∴P是△AB′C′的重心；
∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三个三角形的面积相等，记为S；
∴S_△APB=$\frac{S}{2}$，S_△APC=$\frac{S}{3}$，S_△BPC=$\frac{S}{6}$，
∴S_△ABC=S，
∴S_△ABP：S_△ABC=1：2．
故选B．

点评 考查向量数乘的几何意义，三角形重心和三顶点构成向量的和为零向量，以及三角形的面积公式．