Question

8．在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE、DE折起使B与C重合于点P，
（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；
（2）求二面角P-AD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）证明PE⊥平面PAD，即可证明平面PDE⊥平面PAD；
（2）取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD，∠PFE是二面角P-AD-E的平面角，即可求二面角P-AD-E的大小．

解答 （1）证明：由题意，PE⊥PD，PE⊥PA，PD∩PA=P，
∴PE⊥平面PAD，
∵PE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAD；
（2）解：取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD，
∴∠PFE是二面角P-AD-E的平面角，
∵PE=1，EF=$\sqrt{2}$，
∴sin∠PFE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠PFE=$\frac{π}{4}$，即二面角P-AD-E的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查二面角P-AD-E的大小，属于中档题．