Question

3．二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{3x}）^n}$的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　）

• A． $\frac{5}{9}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 5
• D． 15

Answer 1

分析 先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．

解答 解：${（\sqrt{x}+\frac{1}{3x}）^n}$的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．
 其通项公式T_r+1=C₆^r•（$\frac{1}{3}$）^r•${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C₆²•（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．