Question

（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点为，点在椭圆上.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程；

(2)若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，试求当面积取到最大值时直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) 轨迹的方程；椭圆方程为 (2)

【解析】

试题分析：（1）过圆心M作直线的垂线，垂足为H.

 由题意得，|MH|=|MF|,由抛物线定义得，点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为....................3分

设椭圆方程为，将点A代入方程整理得解得 .故所求的椭圆方程为...............5分

（2）轨迹的方程为，即.

则，所以轨迹在处的切线斜率为，......7分

设直线方程为，代入椭圆方程得

因为 ，解得；............9分

设

所以

点A到直线的距离为................12分.

所以

当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为

..................................14分

考点：圆的简单性质；椭圆的简单性质；轨迹方程的求法；直线与圆锥曲线的综合问题．

点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。