Question

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与，各有一个交点．当时，这两个交点间的距离为，当时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明，是什么曲线，并求出a与b的值；
（Ⅱ）设当时，与，的交点分别为，当时，与，的交点分别为，求四边形的面积．

Answer 1

（Ⅰ）C₁是圆，C₂是椭圆; （Ⅱ）四边形A₁A₂B₂B₁的面积为

试题分析：（Ⅰ）根据圆和椭圆的参数方程特征可以判断出C₁是圆，C₂是椭圆；然后还原到直角坐标系中，根据即表示的x轴的非负半轴，根据表示的是y轴的非负半轴可以分别求出a＝3和b＝1；
（Ⅱ）先分别求出在直角坐标系下的方程：C₁：，C₂：然后再求出第一象限的角平分线与C₁，C₂的交点坐标和第四象限与C₁，C₂交点坐标，根据坐标判断出四边形A₁A₂B₂B₁为梯形，然后求得面积.
试题解析：（Ⅰ）C₁是圆，C₂是椭圆．
当时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
（Ⅱ）C₁，C₂在平面直角标系下的方程分别为
当时，射线l与C₁交点A₁的横坐标为，与C₂交点B₁的横坐标为
当时，射线l与C₁，C₂的两个交点A₂，B₂分别与A₁，B₁关于x轴对称，因此四边形A₁A₂B₂B₁为梯形．
故四边形A₁A₂B₂B₁的面积为