Question

已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：(1)根据导数的几何意义，函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，把点代入切线方程中，得，把点代入中，得关于的一个方程，又，得关于的另一个方程，联立解；（2）恒成立问题的解决办法，一种方法是参变分离，由（1）得，∴，左边函数的最大值；第二种方法是构造函数，但是考虑到求导时候的困难，可先变形， ，，记，最大值小于0，即可.
试题解析：（1）由
而点在直线上，又直线的斜率为
故有
（2）方法一：由（1）得由及
令
令，故在区间上是减函数，故当时，，当时，，从而当时，，当时，在是增函数，在是减函数，故要使成立，只需，故的取值范围是.
方法二：由，则，∴，记，，①当时，不满足恒小于0；②当时，令，当时，递增，递减，，；当时， 所以不满足，综上所述：的取值范围是.