Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点．

（Ⅰ）求证：DA₁⊥ED₁；

（Ⅱ）若直线DA₁与平面CED₁成角为45°，求的值；

（Ⅲ）写出点E到直线D₁C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．

Answer 1

【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）

（Ⅰ）证明：=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1）

∴•=0

∴DA₁⊥ED₁；（4分）

（Ⅱ）解：设平面CED₁的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（0，﹣1，1），=（1，m﹣1，0）

∴．

取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．

∵直线DA₁与平面CED₁成角为45°，

∴sin45°=|cos＜，＞|=，

∴=，解得m=．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

（Ⅲ）解：点E到直线D₁C距离的最大值为，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）