Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）已知函数y=g（x）的零点至少有一个在原点右侧，求实数a的范围．
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①x₀=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）=存在“中值相依切线”．
试问：函数G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）（1）当a=0时，g（x）=x，直线与x轴的交点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（1分）
（2）当a=1时，g（x）=x²，抛物线的顶点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（2分）
（3）当0＜a＜1时，g（x）=ax²-（a-1）x=a（x-）²-，抛物线开口向上且过原点，对称轴＜0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数y=g（x）的零点不在原点右侧，不满足条件．（3分）
（4）当a＞1时，g（x）=ax²-（a-1）x=a（x-）²-，抛物线开口向上且过原点，对称轴＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（4分）
（5）当a＜0时，g（x）=ax²-（a-1）x=a（x-）²-，抛物线开口向下且过原点，对称轴＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（5分）
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）假设函数G（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲线y=G（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y₁=lnx₁-a+（a-1）x₁，y₂=lnx₂-a+（a-1）x₂．
k_AB=a（x₁+x₂）+（a-1）（8分）
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=G′（x₀）=，（9分）
依题意得：a（x₁+x₂）+（a-1）=．
化简可得：=，即=．（11分）
设=t（t＞1），上式化为：lnt=2-，即lnt+=2．（12分）
令h（t）=lnt+，则h′（t）=．
因为t＞1，显然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上递增，显然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+=2成立．
综上所述，假设不成立．
所以函数G（x）不存在“中值相依切线”．（14分）
分析：（Ⅰ）分类讨论，利用函数为二次函数，确定函数的零点，再进行验证，即可得到结论；
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本题考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查导数知识的运用，考查存在性问题，综合性强．