Question

关于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4个不相等的实根，则实数k的范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,不等式的解法及应用

分析：由题意易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一个根，化方程

|x|

x+4

=kx²为k=

1

(x+4)|x|

；作函数f（x）=

1

(x+4)|x|

的图象，由图象可知关于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4个不相等的实根转化为k大于f（x）在（-4，0）上的最小值，从而利用基本不等式求解．

解答： 解：易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一个根，
当x≠0时，
方程

|x|

x+4

=kx²可化为
k=

1

(x+4)|x|

；
作函数f（x）=

1

(x+4)|x|

的图象如下，

则由图象可知，
关于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4个不相等的实根转化为
k大于f（x）在（-4，0）上的最小值；
当x∈（-4，0）时，
f（x）=

1

(4+x)(-x)

，
∵（4+x）（-x）≤(

4

2

)2=4；
故

1

(4+x)(-x)

≥

1

4

，
（当且仅当x=-2时，等号成立）
故k＞

1

4

；
故答案为：（

1

4

，+∞）．

点评：本题考查了方程的根与函数图象的关系，同时考查了数形结合的数学思想及基本不等式的应用，属于中档题．