Question

已知函数．

（1）当时，求的零点；

（2）若方程有三个不同的实数解，求的值；

（3）求在上的最小值.

Answer 1

解答】：（1）当时，， ………2分

令得，当时，，（舍去）

当时，，（舍去）

所以当时，的零点为1，                ………………………………4分

（2）方程，即，

变形得，         ………………………………6分

从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程…(1)

与…(2)

满足下列情形之一：

（I）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等

（II）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；

对情形（I）：若方程(1)有等根，则

  解得   代入方程（2）检验符合；

若方程(2)有等根，则解得代入方程（1）检验符合；……8分

对情形（II）：设是公共根，则，

解得代入（1）得，

代入检验得三个解为-2、0、1符合

代入检验得三个解为2、0、-1符合

故有三个不同的解的值为或．        ……………10分

（3）因为=,

①     当时，在上递减，在上递增，

故在上最小值为………………11分

②     当时，在上递减，在上递增，

故在上最小值为………………12分

③     当时，

（i）当时，结合图形可知当时递减，在上递增

故此时在[-2，2]上的最小值为 ………………13分

（ii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，

故此时在[-2，2]上的最小值为  ……………………14分

（iii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，

在上最小值为      ………………………15分

综上所述： ………………………16分

解法二：因为=,

①     当时，在上递减，在上递增，

故在上最小值为  ………………12分

②       当时，在上递减，在上递增，

故在上最小值为   ………………14分

③     当时，在上递减，当时递增，故此时在[-2，2]上的最小值为

综上所述：